Вероятность случайной величины

ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Напомним методику описания случайных величин. Вероятность случайного события - это мера того, насколько велика возможность его возникновения. Вероятность изменяется от 0 до 1. Вероятность достоверного которое точно произойдет события вероятность случайной величины 1. Напротив, вероятность невозможного события равна 0. Случайные величины являются более обобщенным понятием случайного события. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретная случайная величина может принимать только определенные значения с определенной вероятностью. Для описания как дискретных, так и непрерывных случайных величин используется функция распределения вероятности. Пусть Х - случайная величина и х - ее любое значение. Функция распределения вероятности определяется следующим образом: т. Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:при, - неубывающая функция х, На рис. Функция распределения вероятности не всегда удобна для расчетов. Часто удобнее использовать не саму функциювероятность случайной величины ее производную. Она называется плотностью распределения вероятности. Физический смысл вероятность случайной величины x состоит в том, что произведение f x dx представляет вероятность попадания случайной вероятность случайной величины Х в интервал вероятность случайной величины х до х + dxт. Свойства плотности распределения вероятности имеют вид: - вероятность достоверного события равна 1 свойство 1- вероятность попадания случайной величины в интервал от до свойство 2. Это проиллюстрировано вероятность случайной величины рис. Необходимо вычислить параметр с. Вероятность случайной величины пример относится к непрерывной случайной величине, которая может принимать и дискретное значение. Рассмотрим вопрос - как можно смоделировать случайную величину? В настоящее время в связи с большой популярностью вычислительной техники широко используется так называемый алгоритмический способ.Закон распределения дискретной случайной величины Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых вероятность случайной величины образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков вероятность случайной величины 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени скажем, день или месяц в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом. Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами. Числовая величина, принимающая то или иное значение в вероятность случайной величины реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной. Понятие случайной величины играет весьма важную вероятность случайной величины в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами. Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами XYZ и вероятность случайной величины. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так:. Итак, примерами случайных величин могут быть: 1 количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика: 2 число тузов, при взятии из колоды 6 карт; 3 количество зарегистрированных преступлений за день или месяц; 4 число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета; 5 расстояние, вероятность случайной величины пролетит снаряд при выстреле из орудия; 6 рост случайно взятого человека. Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое теоретически натуральное число или 0. В пятом и вероятность случайной величины примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка а, b. Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной дискретно распределенной. Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности. Соответствие между возможными значениями случайной величины их вероятностями вероятность случайной величины законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения можно вероятность случайной величины в виде таблицы, формулы или графически. При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй — соответствующие значениям вероятности: X … p … Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Полученные точки соединяются отрезками прямых. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения рис. Он является одним из форм закона распределения. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов. Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 — выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны. Ряд распределения имеет вид: X 0 1 p Многоугольник распределения изображен на рис. Построить ряд распределения числа очков, выпавших при броске кубика. Так как все эти события равновозможны, то соответствующие значениям случайной величины вероятности равны. Значит, ряд распределения запишется в таком виде: X 1 2 3 4 5 6 p Биномиальное распределение Пример 6. Построить ряд распределения числа выпавших гербов при двух бросках монеты. Случайная величина — количество выпавших гербов при двух подбрасываниях монеты, в отличие от примера 6. Соответствующие вероятности можно найти по формуле Бернулли, но еще легче по теоремам умножения и сложения вероятностей : ;. Ряд распределения запишется в виде: X 0 1 2 вероятность случайной величины Пример 6. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд и многоугольник распределения числа попаданий в вероятность случайной величины. Случайная вероятность случайной величины Х — число попаданий в мишень при трех выстрелах. Многоугольник распределения числа попаданий при трех выстрелах изображен на рис. Биномиальным называется распределение вероятность случайной величины, определяемое формулой Бернулли: 0 £ k £ n. В n испытаниях событие А вероятность случайной величины вообще не появиться, появиться 1 раз, 2 раза, 3 раза, …, n раз. А соответствующие им вероятности подсчитываются по формуле Бернулли 6. Геометрическое распределение Пример 6. Стрелком производятся выстрелы по мишени до первого попадания. Построить ряд распределения количества произведенных выстрелов. Обозначим через Х дискретную случайную величину — число произведенных выстрелов до первого попадания. Множество значений Х является бесконечным счетным множеством, как и ряд натуральных чисел. Непопадание в мишень в первом выстреле и попадание во втором — события независимые. Это означает, что попадание произошло лишь в k -м выстреле, а до этого был k -1 промах. Таким образом, ряд распределения случайной величины запишется так: X 1 2 3 4 5 … k … p 0,6 0,24 0,096 0,0384 0,01536 … … Многоугольник распределения случайной величины построен на рис. Поэтому распределение случайной величины в примере 6. Геометрическим называется распределение вероятностей случайной величины Х, которое определяется следующим законом:k ³ 1. Случайная величина Х определяется как число независимых испытаний, которые нужно произвести до первого появления события Очевидно, что возможными значениями Х является множество натуральных чисел x Î N.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Геннадий Старовойтов

    20.10.2015

    Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 — выпадению решки. Однократное бросание игральной кости. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал 0,25;0,5 в результате испытания.